Алексей Эйбоженко родился 6 февраля 1934 года в Москве.
Бабушка Алексея Эйбоженко по отцовской линии, француженка, приходилась двоюродной племянницей писательнице Жорж Санд, а дедушка был состоятельным домовладельцем, но проигрался в карты в Дворянском собрании и застрелился.
Алексею Эйбоженко было семь лет, когда началась Великая Отечественная война. Его отец ушел на фронт и погиб на Курской дуге, а мама не смогла пережить такого горя и вскоре умерла.
Свои первые роли на сцене Алексей Эйбоженко сыграл, будучи студентом театрального училища имени Щепкина, где обучался на курсе Веры Николаевны Пашенной. Среди сыгранных им ролей были Ромашов в «Двух капитанах» Каверина и Король в «Звезде Севильи» Лопе де Веги. А со спектаклем «Чужой ребенок», в котором Алексей играл роль Караулова, ему даже удалось съездить на целину.
Окончив в 1957 году училище имени Щепкина, Алексей Эйбоженко стал актером Воронежского драматического театра имени Михаила Кольцова, но проработав там два года, он перешел в Московский театр драмы и комедии на Таганке. Там Алексей встретил свою любовь.
Наталья Кенигсон, отцом которой был известный советский актёр Владимир Кенигсон, как и Алексей, училась в училище имени Щепкина у Пашенной, только курсом позже. Пашенная постоянно восхищалась талантом Алексея Эйбоженко, поэтому Наталья была заочно с ним знакома. Когда Наталья пришла работать в Театр на Таганке, она с удивлением узнала, что здесь работает тот самый Эйбоженко. «Он же человек-легенда! Покажите мне его!..», - воскликнула девушка. Она ожидала увидеть какого-то невероятного красавца, а Алексей был обычным парнем, к тому же на два сантиметра ниже самой Натальи. Но между молодыми людьми вспыхнула самая настоящая любовь.
Натальи вскоре ушла из Театра на Таганке, а у Алексея все шло неплохо - Любимов доверял молодому актеру. Но любовь оказалась сильнее, и вскоре Алексей ушел из театра вслед за Натальей. Чтобы прокормить семью он стал сниматься в кино. Среди его первых работ на экране стали роли Лемешко в картине «Третий тайм» и Немы Брока в картине «При исполнении служебных обязанностей».
В 1964 году Эйбоженко пришел в академический театр имени Владимира Маяковского. За недолгий период работы на этой сцене актер сыграл несколько ролей, самой значимой среди которых стал Тарелкин в спектакле «Смерть Тарелкина» режиссера Петра Фоменко. Позже, в 1967 году он стал актёром Академического Малого театра, на сцене которого сыграл более 20 ролей.