Олег Басилашвили родился 26 сентября 1934 года в Москве.
Отец - Валериан Ношреванович Басилашвили (1900-1975), работал директором Московского политехникума связи. Мать - Ирина Сергеевна Ильинская (1908-1980), филолог, автор учебника по русскому языку для учителей, книг «Лексика стихотворений Пушкина», «О богатстве русского языка» и других. Дед по матери - Сергей Михайлович Ильинский (1872-1934), архитектор, закончил Московское училище ваяния и зодчества. По его проекту в 1914-1917 годах построен храм св. мучеников Адриана и Наталии у станции Лосиноостровская.
Дед по отцу - Ношреван Койхосрович Басилов (1867-1943), околоточный надзиратель полиции Горийского уезда Тифлисской губернии. Прадед - Кайхосро Басилов, землевладелец села Карби Горийского уезда. Грузинская фамилия Басилашвили была только у отца, а до него все предки были Басиловыми.
Обе фамилии переводятся одинаково - «потомок Басила». Предки Басилашвили пришли в Грузию с территории современной Турции, с горы Басиан около 400 лет назад. Семья жила в старом доме на Покровке.
Дочь актера Ксения рассказывала: "Когда-то моему прадедушке, известному архитектору, принадлежала четырёхкомнатная квартира. Их постоянно уплотняли, и отдельная квартира превратилась в коммуналку. Семье Басилашвили осталась одна комната. А когда папа из Москвы переехал в Ленинград, и эта комната перешла государству. Но, приезжая на гастроли в столицу, он всегда снимал именно эту комнату, а впоследствии выкупил её. Когда я переехала в Москву из Петербурга, жила на Покровке. Сейчас дома уже нет, его снесли".